【转帖】赛龟的数学

[ytarch]

好象一直有人对赛龟不死心,总想找到
一种赢钱的策略.今天早上我仔细地想了一下,
终于找到了赛龟必输的严格的证明.
其实就是求一下投注n次后收入的数学期望.
我以前一直以为这个计算很复杂,今天才
发现,它实际上很简单.

为了简化计算,假设每次的胜率为1/3
先看赌一次的情况.假设一次压注a,如果
赢的话,收入为2a.如果输的话,收入为-a.
这样赌一次收入的期望为:

E1=(2a)*(1/3)+(-a)*(2/3)=0

现在再看一下两次下注的情况.这时,存在策略的
问题.假设第一次下a,如果第一次输了的话,第二
次下b,否则,下c.这样,分赢赢,赢输,输赢,输输
4种情况讨论,可以算出收入的期望值为仍然为0.

对于n次下注的情况,用归纳法也不难证明,无论采取
什么策略,收入的期望值都是0.

以上讨论假设胜率为1/3.实际上赛龟的胜率不到1/3.
在这种情况下,想对所有策略计算期望值有点麻烦,
实际上不太可能.但用归纳法却不难证明这个期望值
是负值!这就是赛龟总是输钱的原因. ^_*